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微积分(一)(第6次开课)(浙江大学)

来源:在线课程研发与运营部 分类:理学 2020-09-07
开课时间: 2020年08月31日 ~ 2021年01月22日

“矿爷的课,一定要上”,矿爷时常会利用一些段子,把教学和生活联系起来,让枯燥的微积分课堂变得妙趣横生;听矿爷的数学课是一种思维上的享受!人称“矿爷”的苏德矿,乃浙江大学的“百万”名师。

—— 课程团队

课程概述

微积分是以函数为研究对象,运用极限手段分析处理问题的一门数学科学。

本课程充分发挥传统黑板教学在数学课程讲授上的优势,边讲边写,循序推进,现场手绘图形,通俗易懂,还时常利用一些段子把教学和生活联系起来,使得课堂生动活泼,为微积分课程教学带来一股新风。

本课程是在原国家级精品课程的基础上转型而成,分为微积分(一)、(二)、(三),其中微积分(一)包括函数极限与连续、一元函数的微分学、一元函数的积分学、常微分方程。通过本课程的学习,使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论、基本方法和具有比较熟练的运算技能,为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础;并使学生受到高等数学的思想方法熏陶和运用它们解决实际问题的基本训练;培养学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析、解决实际问题的能力。

本课程适合大学一年级正在学习微积分或者正在准备复习考研的学习者。

微积分(二)课程连接:https://www.icourse163.org/course/ZJU-1003308005

微积分(三)课程连接:https://www.icourse163.org/course/ZJU-1003376003

授课目标

第一部分  函数、极限、连续

1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会函数关系的建立。 

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.  

3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.  

4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.

5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及函数极限存在与左、右极限之间的关系. 

6.掌握极限的性质及四则运算法则 

7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法. 

8.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限. 

9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型. 

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小 值定理、介值定理),并会应用这些性质.  

第二部分  一元函数微分学

1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。

3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数。

4.会求分段函数的一阶、二阶导数。

5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

6.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理,了解并会用柯西中值定理。

7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。

9.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

10.了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。

第三部分  一元函数积分学

 1.理解原函数概念,理解不定积分和定积分的概念.  

 2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法.  

 3.会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分.  

 4.理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿一莱布尼茨公式.  

 5.了解广义积分的概念,会计算广义积分.  

 6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力)及函数的平均值等.  

 第四部分 常微分方程 

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.

3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程.

4.会用降阶法解三种形式的微分方程.

5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.

7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.

8.会解欧拉方程.

9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.

授课团队

苏德矿教授、童雯雯高级讲师、朱静芬讲师、 毕惟红副教授胡贤良副教授、 吴彪副教授叶兴德副教授吴国桢高级工程师、 陈明飞副教授薛儒英副教授

课程链接

课程大纲

第1周

第一节:有界函数、无界函数、复合函数

第二节:反函数、单调函数

第三节:基本初等函数、初等函数和非初等函数

第四节:数列极限定义

第五节:收敛数列的性质

第六节:夹逼定理、单调有界定理

第2周

第七节: {(1+1/n)n}的收敛性

第八节:单调有界定理及应用、子数列

第九节:子数列推论、函数极限定义

第十节:函数极限性质

第十一节:海涅定理

第十二节:海涅定理推论的应用、无穷小量性质与推论

第3周

第十三节:无穷小量阶的比较 无穷大量

第十四节:无穷大量性质、等价量替换定理

第十五节:函数极限的夹逼定理、两个重要极限

第十六节:两个重要极限(续)

第十七节:函数的连续,间断点分类

第4周

第十八节: 初等函数的连续

第十九节: 闭区间上连续函数的性质

第二十节: 11个重要的函数极限

第二十一节: 总结与练习

第二十二节: 证明题训练,间断点及类型的讨论

函数极限与连续总结与拓展

综合题

测试1

第5周

第二十三节: 导数概念引入,导数定义

第二十四节: 左右导数定义,导数与连续的关系

第二十五节: 基本初等函数的导函数

第二十六节: 导数四则运算,反函数求导法则,基本初等函数导数(续)

第二十七节: 复合函数求导法则

第6周

第二十八节: 初等函数导数,分段函数导数

第二十九节:高阶导数

第三十节:方程确定函数的导数,对数微分法

第三十一节:对数微分法练习,微分

第三十二节:一阶微分形式不变性

第三十三节:参数方程确定函数旳导数,极值的概念

导数与微分总结与拓展

综合题

测试2

第7周

第三十四节:费马定理,罗尔定理

第三十五节:拉格朗日定理,柯西定理

第三十六节:未定式极限

第三十七节:未定式极限(续)

第三十八节:数列极限未定式,罗尔定理应用

第三十九节:拉格朗日定理应用,单调性定理

第8周

第四十节:判断极值的方法,求单调区间与极值的步骤

第四十一节:数学建模初步,泰勒公式思想

第四十二节:泰勒公式

第四十三节:五个函数的麦克劳林展开式

第四十四节:泰勒公式的应用

第四十五节:带有皮亚诺余项的泰勒公式,在求极限中的应用

第9周

第四十六节:利用皮亚诺余项找等价量,函数的凹凸性与拐点

第四十七节:曲线的渐近线

第四十八节:函数的作图

第四十九节:曲率

第五十节:不定积分概念,不定积分性质

第五十一节:不定积分线性运算法则,基本不定积分公式

中值定理及导数应用总结与拓展

综合题

测试3

第10周

第五十二节:不定积分的凑微分

第五十三节:不定积分的变量代换

第五十四节:不定积分的分部积分

第五十五节:不定积分的分部积分(续),有理函数的不定积分

第五十六节:有理函数的不定积分(续),三角函数有理式的不定积分

第五十七节:三角函数有理式的不定积分(续),无理函数的不定积分

不定积分总结与拓展

综合题

测试4

第11周

第五十八节:定积分的概念的引入,定积分的定义

第五十九节:定积分的意义,可积的必要条件

第六十节:可积的充分条件,定积分的性质1-2

第六十一节:定积分的性质3-7

第六十二节:变上限求导定理(微积分基本定理),牛顿—莱布尼兹公式

第六十三节:定积分概念的深度理解

第12周

第六十四节:定积分证明题的类型,一般变限积分的求导

第六十五节:定积分计算的方法

第六十六节:利用被积函数的特点简化定积分的计算

第六十七节:利用被积函数的特点简化定积分的计算(续),微元法思想

第六十八节:微元法,平面图形面积

第六十九节:平面图形面积例题,曲边扇形面积,夹在两平行平平面间立体的体积

第13周

第七十节:平面图形绕x轴,y轴旋转所成旋转体的体积

第七十一节:曲线的弧长

第七十二节:平面图形绕x轴旋转所成旋转体的侧面积,定积分在物理中的应用

第七十三节:定积分在物理中的应用(续),第一类广义积分思想

第七十四节:第一类广义积分,第二类广义积分思想

第七十五节:第二类广义积分,伽马函数

定积分及应用总结与拓展

综合题

测试5

第14周

第七十六节:常微分方程的基本概念

第七十七节:可分离变量方程

第七十八节:一阶线性微分方程

第七十九节:可降阶二阶微分方程

第八十节:二阶线性微分方程解的结构

第八十一节:二阶常系数齐次线性微分方程

第八十二节:二阶常系数非齐次线性微分方程(类型一)

第八十三节:二阶常系数非齐次线性微分方程(类型一续)

第15周

第八十四节:二阶常系数非齐次线性微分方程(类型二解法一)

第八十五节:二阶常系数非齐次线性微分方程(类型二解法二)

第八十六节:二阶变系数线性微分方程的一些解法(一)

第八十七节:二阶变系数线性微分方程的一些解法(二)

第八十八节:全微分方程与积分因子

第八十九节:常系数线性方程组

第九十节:常微分方程的应用

第九十一节:微积分1精要

《微积分一》课程期末练习

高等数学在经济中的应用

微积分(上)总结

测试6

预备知识

高中数学以及删去的中学数学内容,参考资料[3]:

高等数学基础——中学数学内容补充与数学概念和思维方法简介,苏德矿,等.高等教育出版社,2015年5月.

 证书要求

本课程的成绩由单元测验、讨论题和期末考试三部分组成。其中(1)单元测验有6个,分别在第4,6,9,10,13,15周,每个单元测验包括10个单选题,每次单元测验占7%,共占42%;(2)讨论题占8%,需要至少参与8个题目讨论;(3)期末考试占50%,期末考试25个单选题,要求在4个小时内完成。

成绩按百分制计分,成绩大于60分且小于85分的可申请合格证书,成绩大于等于85分的可申请优秀证书。

参考资料

参考教材:

微积分(上),(下).2版.苏德矿,吴明华,金蒙伟,杨起帆.高等教育出版社,2007年7月.

相关资料:

[1] 高等数学习题课28讲.苏德矿,应文隆,卢兴江,吴明华.中南大学出版社,20018年3月.

[2] 高等数学学习辅导讲义.苏德矿,应文隆,等.浙江大学出版社,2015年10月.

[3] 高等数学基础——中学数学内容补充与数学概念和思维方法简介.苏德矿,等.高等教育出版社,2015年5月.

选读材料: 

 [1] 高等数学(2,3卷).居余马,葛严麟.清华大学出版社,1996年8月. 

 [2] 简明微积分.龚昇,张声雷.中国科技大学出版社,1993年7月. 

 [3] 数学分析(上,下).华东师范大学数学系.高等教育出版社,1996年3月. 

 [4] 微积分学教程.F.M.菲赫金哥尔茨.高等教育出版社,2005年7月. 

 推荐英文书目: 

 [1] CALCULUS工科微积分(上,下)(双语版).立冬,周文书.大连理工大学出版社,2009年02月. 

 [2] 高等微积分(美).Patrick M. Fitzpatrick(马里兰大学).机械工业出版社,2005年5月. 

微积分(二)课程连接:https://www.icourse163.org/course/ZJU-1003308005

微积分(三)课程连接:https://www.icourse163.org/course/ZJU-1003376003

常见问题

微积分(一)开始是觉得难,是因为和中学区别较大,中学的数学是有限性和静态性,而大学数学是无限性与动态性,使得大家很不适应。但是,只要坚持学习,多练不同类型的题目,学会思考,小结,就会柳暗花明又一村,就会顿开茅塞,豁然开朗,前景一片光明。

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